Двоичная система счисления
Рекомендуем вначале посмотреть статьи Десятичная система счисления и Системы счисления, общие сведения.
Двоичная система счисления сегодня используется практически во всех цифровых устройствах. Компьютеры, контроллеры и другие вычислительные устройства производят вычисления именно в двоичной системе. Цифровые устройства записи и воспроизведения звука, фото и видео хранят и обрабатывают сигналы в двоичной системе счисления. Передача информации по цифровым каналам связи также использует модель двоичной системы счисления.
Система носит такое название, потому что основанием системы является число два (2) или в двоичной системе 102 - это значит что для изображения чисел используется только две цифры "0" и "1". Двоечка записанная справа внизу от числа, здесь и далее будет обозначать основание системы счисления. Для десятичной системы основание обычно не указывают.
Давайте попробуем просто посчитать в этой системе, подобно тому как мы это делаем в привычной нам десятичной системе счисления. Будем считать и записывать числа из имеющихся в нашем распоряжении цифр:
Ноль - 0;
Один - 1;
А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число два? В десятичной системе, в подобной ситуации (когда закончились цифры), мы вводили понятие десятка, здесь же мы вынуждены ввести понятие "двойка" и скажем, что два - это одна двойка и ноль единиц. А это уже можно и записать как - "102".
Итак, Два - 102 (одна двойка, ноль единиц)
Три - 112 (одна двойка, одна единица)
Возможности двух разрядов исчерпались и мы, чтобы считать дальше, вынуждены ввести более крупную единицу счета (осваивать новый разряд). Если в десятичной системе нас выручила сотня, то в двоичной это будет "Четверка".
Четыре - 1002 (одна четверка, ноль двоек, ноль единиц)
Пять - 1012 (одна четверка, ноль двоек, одна единица)
Шесть - 1102 (одна четверка, одна двойка, ноль единиц)
Семь - 1112 (одна четверка, одна двойка, одна единица)
Возможности трех разрядов исчерпались, вводим более крупную единицу счета - восьмерку (осваиваем новый разряд).
Восемь - 10002 (одна восьмерка, ноль четверок, ноль двоек, ноль единиц)
Девять - 10012 (одна восьмерка, ноль четверок, ноль двоек, одна единица)
Десять - 10102 (одна восьмерка, ноль четверок, одна двойка, ноль единиц)
...
и так далее...
...
Всегда, когда возможности задейсвованых разрядов, для отображения следующего числа, исчерпываются, мы вводим более крупные единицы счета, т.е. задействуем следующий разряд.
Рассмотрим число 10112 записанное в двоичной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: одну восьмерку, ноль четверок, одну двойку и одну единицу. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.
10112 = 1*8+0*4+1*2+1*1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.
Но ряд чисел 8, 4, 2, 1 есть не что иное, как целые степени числа два (основания системы счисления) и поэтому можно записать:
10112 = 1*23+0*22+2*21+2*20
Подобным образом для двоичной дроби (дробного числа) например: 0.1012 (пять восьмых), про него можно сказать, что оно содержит: одну вторую, ноль четвертых и одну восьмую долю. И его значение можно вычислить следующим образом :
0.1012 = 1*(1/2) + 0*(1/4) + 1*(1/8)
И здесь ряд чисел 1/2; 1/4 и 1/8 есть не что иное, как целые степени числа два и мы также можем записать:
0.1012 = 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3
Для смешанного числа 110.101 аналогичным образом можем записать:
110.101 = 1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3
Давайте пронумеруем разряды целой части двоичного числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m. Тогда значение некоторого двоичного числа может быть вычислено по формуле:
N = dn2n+dn-12n-1+…+d121+d020+d-12-1+d-22-2+…+d-(m-1)2-(m-1)+d-m2-m
Где: n - количество разрядов в целой части числа минус единица;
m - количество разрядов в дробной части числа
di - цифра стоящая в i-м разряде
Эта формула называется формулой разложения двоичного числа, т.е. числа записанного в двоичной системе счисления. Но если в этой формуле число два заменить на некоторое абстрактное q, то мы получим формулу разложения для числа записанного в q-й системе счисления:
N = dnqn+dn-1qn-1+…+d1q1+d0q0+d-1q-1+d-2q-2+…+d-(m-1)q-(m-1)+d-mq-m
С помощью этой формулы вы всегда сможете вычислить значение не только двоичного числа, но и числа записанного в любой другой позиционной системе счислени. О других системах счисления рекомендуем почитать следующие статьи.
